3.4 基本不等式：≤学 习 目 标核 心 素 养1.了解基本不等式的证明过程．2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．(重点、难点)3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养．2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养．1．重要不等式如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”).思考：如果 a>0，b>0，用，分别代替不等式 a2＋b2≥2ab 中的 a，b，可得到怎样的不等式？[提示] a＋b≥2.2．基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a ， b 均为正实数 ；(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．思考：不等式 a2＋b2≥2ab 与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示] 不同，a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；≤成立的条件是 a，b 均为正实数．3．算术平均数与几何平均数(1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：≥与≥ab 是等价的吗？[提示] 不等价，前者条件是 a>0，b>0，后者是 a，b∈R.4．用基本不等式求最值的结论(1)设 x，y 为正实数，若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y＝时，积 xy 有最大值为．(2)设 x，y 为正实数，若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y＝时，和 x＋y 有最小值为 2．5．基本不等式求最值的条件(1)x，y 必须是正数．(2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．1．不等式(x－2y)＋≥2 成立的前提条件为( )A．x≥2y B．x＞2yC．x≤2y D．x＜2yB [因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以 x－2y＞0，即 x＞2y，故选 B.]2．设 x，y 满足 x＋y＝40，且 x，y 都是正数，则 xy 的最大值为 ．400 [因为 x，y 都是正数，且 x＋y＝40，所以 xy≤＝400，当且仅当 x＝y＝20 时取等号．]3．函数 f(x)＝x＋(x＞0)的最小值为 ．2 [由基本不等式可得 x＋≥2＝2，当且仅当 x＝，即 x＝1 时等号成立．...
