3．4.1 基本不等式的证明 1.了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．, [学生用书 P60])基本不等式的有关概念(1)基本不等式：把不等式≤(a≥0，b≥0)称为基本不等式．(2)算术平均数：称为正数 a，b 的算术平均数．(3)几何平均数：称为正数 a，b 的几何平均数．(4)算术平均数与几何平均数的关系如果 a、b 是正数，那么 ≤(当且仅当 a ＝ b 时，取“＝”)；即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时，两者相等．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立．( )(2)若 a≠0，则 a＋≥2＝4.( )(3)若 a>0，b>0，则 ab≤.( )解析：(1)错误．任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 a＋b≥2 成立．(2)错误．只有当 a>0 时，根据基本不等式，才有不等式 a＋≥2＝4 成立．(3)正确．因为≤，所以 ab≤.答案：(1)× (2)× (3)√2．不等式 a2＋4≥4a 中等号成立的条件是________．答案：a＝23．已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的序号是________． ①a2＋b2>2ab；② a＋b≥2；③＋>；④＋≥2.解析：因为 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立，所以①错误；对于④，因为 ab>0，所以＋≥2＝2.对于②，③，当 a<0，b<0 时，明显错误．答案：④4．给出下列说法：① 若 x∈(0，π)，则 sin x＋≥2；② 若 a，b∈(0，＋∞)，则 lg a＋lg b≥2；③ 若 x∈R 且 x≠0，则≥4.其中正确说法的序号是________．解析：①因为 x∈(0，π)，所以 sin x∈(0，1]，所以①成立；②只有在 lg a>0，lg b>0，即 a>1，b>1 时才成立；③＝|x|＋≥2＝4 成立．答案：①③ 利用基本不等式比较大小[学生用书 P61] 已知 0
0，b>0，所以 a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大的数应为 a＋b 或 a2＋b2.又因为 0
