3．2 空间向量的坐标 1.理解空间向量基本定理并会用其解决一些几何问题． 2.掌握空间向量的坐标表示，会求空间向量的坐标．3．掌握空间向量的坐标运算规律，熟练掌握向量加减法、向量与实数相乘及数量积的坐标运算．1．空间向量的分解与坐标定理 1：设 e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合．即：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数 x，y，z 由 v 唯一决定．即：如果 v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则 x＝x′，y＝y′，z＝z′(表达式中的系数组成的有序数组(x，y，z)称为 v 在这组基下的坐标)．2．空间向量基本定理定理 2：(空间向量基本定理)设 e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量．则(1)空间中任意一个向量 v 可以写成这三个向量的线性组合：v＝x e 1＋ y e 2＋ z e 3．(2)上述表达式中的系数 x，y，z 由 v 唯一决定．即：如果 v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则 x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1)向量的加减法(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法a(x，y，z)＝( ax ， ay ， az ) ．(3)向量的数量积(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)求向量 v＝(x，y，z)的模的公式|v|＝．(5)求向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角 α 的公式cos α＝ .4．空间中向量的坐标及两点间的距离公式若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(1)AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；(2)dAB＝；(3)线段 AB 的中点坐标为.1．已知 a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则 p·q＝( )A．－1 B．1C．0 D．－2解析：选 A.因为 p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，1所以 p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选 A.2．在空间直角坐标系中，已知点 A 的坐标为(－1，2，1)，AB＝(2，1，3)，则点 B 的坐标是( )A．(－2，4，2) B．(0，5，5)C．(1，3，4) D．(－3，1，－2)解析：选 C.AB＝OB－OA，所以OB＝AB＋OA＝(2，1，3)＋(－1，2，1)＝(1，3，4)所以点 B 的坐标是(1，3，4)．3．已知 a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若 a⊥b，则 x＝________．答案：1 空间向量基本定理及应用 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是上底...
