高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.4 二面角及其度量学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3．2.4 二面角及其度量学 习 目 标核 心 素 养1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点)1.通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养学生的数学抽象素养.2.借助求二面角的方法和步骤的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为 l，两个面分别为 α，β 的二面角，记作 α l β ，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作 A l B ，也可记作 2∠l，二面角的范围为[0 ， π] ． (3)二面角的平面角：在二面角 αlβ 的棱上任取一点 O ，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠ AOB 叫做二面角 αlβ 的平面角．思考：如何找二面角的平面角？[提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为 θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当 n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且 n1，n2的方向分别与半平面 α，β 的延伸方向相同，则 θ＝〈 n 1， n 2〉．(2)当 n1⊥α，n2⊥β，则 θ＝〈 n 1， n 2〉或 θ＝π －〈 n 1， n 2〉．1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不能确定C [由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]2．三棱锥 ABCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角 A-BDC 的大小为( )1A. B. C.或 D.或C [当二面角 ABDC 为锐角时，它就等于〈n1，n2〉＝；当二面角 ABDC 为钝角时，它应等于 π〈n1，n2〉＝π－＝.]3．已知点 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为________． [由题得AB＝(－1,2,0)，AC＝(－1,0,3)．设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)．由知令 x＝2，得 y＝...