高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.4 直线与平面的垂直关系学案 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学学案

3．4 直线与平面的垂直关系 1.掌握直线与平面垂直的定义． 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能灵活运用定理证明直线与平面垂直．3．理解三垂线定理及逆定理，并能应用三垂线定理及逆定理证明线面或线线垂直．1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线 l 与一个平面 α 相交，并且垂直于平面 α 内所有的直线，就称直线 l 与平面 α 垂直，记作 l⊥α.(2)判定定理① 文字语言：如果一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直．② 符号语言：若直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 α，l ⊥ a ， l ⊥ b ， a ∩ b ＝ O ，则 l⊥α.2．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．1．下列命题中正确的有( )① 如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直，则 l⊥α；② 如果直线 l 不垂直于 α，则 α 内没有与 l 垂直的直线；③ 如果直线 l 不垂直于 α，则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直．A．0 个 B．1 个C．2 个 D．3 个解析：选 B.只有③正确．2．已知四边形 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，连接 AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC与BD B.DA与PBC.PD与AB D.PA与CD解析：选 A.可用排除法．因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，PA·CD＝0，排除 D.又因为 AD⊥AB，所以 AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，排除 B，C，故选 A.3．在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 垂直于底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 于点 F.求证：PB⊥平面 EFD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设 DC＝a.连接AC交BD于G，连接EG，依题意得P(0，0，a)，D(0，0，0)，E，B (a ，a，0)，PB＝(a，a，－a)，DE＝，所以PB·DE＝0＋－＝0，1所以PB⊥DE，即 PB⊥DE.又已知 EF⊥PB，且 EF∩DE＝E，所以 PB⊥平面 EFD. 直线与平面垂直的有关概念 下列命题中，真命题的个数为( )(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；(4)过点 A 垂直于直线 a 的所...