3．7 点到平面的距离 1.掌握点到平面的距离的概念，并会求点到平面的距离． 2.能利用直线的方向向量和平面的法向量求空间中的各种距离． 3.体会向量方法在研究立体几何中的作用．1．点到平面的距离从空间中一点 P 到平面 α 作垂线 PD 交平面 α 于 D，则线段 PD 的长度 d 称为点 P 到平面 α 的距离．2．点到平面距离的向量求法已知平面 α 的法向量 n 以及平面上任一点 A.从 A 出发作AN＝n，过点 P 作 AN 的垂线与AN 相交于点 P1，则| AP 1|就是AP在法向量AN上的投影长，且点 P 到平面 α 的距离d＝|AP1|＝|| AP | cos∠ PAN | ＝．1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到l 的距离为( )A．5 B．14C. D.答案：C2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中点，若点 A 到平面 α 的距离为 10，则点 B 到平面 α 的距离为________．答案：53．直角△ABC 的两条直角边 BC＝3，AC＝4，PC⊥平面 ABC，PC＝，则点 P 到斜边 AB 的距离是________．解析：以 C 为坐标原点，CA，CB，CP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以AB＝(－4，3，0)，AP＝，所以AP在 AB 上的投影长为＝，所以点 P 到 AB 的距离为d＝＝＝3.答案：3 点到直线的距离[学生用书 P61] 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCDA′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．1【解】 因为 AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以 A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，所以直线 A′C 的方向向量A′C＝(1，2，－3)．又BC＝(0，2，0)，所以BC在A′C上的射影长为＝ .所以点 B 到直线 A′C 的距离d＝＝ ＝.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长；(4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 C1C，D1A1的中点，求点 A 到 EF 的距离．解：以 D 点为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设 DA＝2，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，则EF＝(1，－2，1)，FA＝(1，0，－...
