高中数学 第3章 空间向量与立体几何章末复习课学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

第 3 章 空间向量与立体几何空间向量及其运算【例 1】 (1)在空间四边形 OABC 中，其对角线为 OB，AC，M 是 OA 的中点，G 为△ABC 的重心，用基向量OA，OB，OC表示向量MG.(2)已知三点 A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．① 求以 AB，AC 为边的平行四边形的面积．② 若|a|＝，且 a 分别与AB，AC垂直，求向量 a 的坐标．[解] (1)如图，连接 AG 并延长交 BC 于点 D.∴D 为 BC 的中点，∴AD＝(AB＋AC)． G 为△ABC 的重心，∴AG＝AD＝(AB＋AC)，又 AB＝OB－OA，AC＝OC－OA，∴AG＝(AB＋AC)＝(－2OA＋OB＋OC)． M 为 OA 的中点，∴AM＝－OA.∴MG＝AG－AM＝(－2OA＋OB＋OC)＋OA＝－OA＋OB＋OC.(2)① 由题意，可得AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，所以 cos〈AB，AC〉＝＝＝＝，所以 sin〈AB，AC〉＝，所以以 AB，AC 为边的平行四边形的面积为 S＝2×|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×＝7.② 设 a＝(x，y，z)，由题意，得，解得或.所以向量 a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．1向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.2熟记空间向量的坐标运算公式,设 a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2，①加减运算：a±b＝x1±x2，y1±y2，z1±z2.②数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.1③向量夹角：cos〈a，b〉＝.④向量长度：设 M1x1，y1，z1，M2x2，y2，z2，则＝\r(x1－x22＋y1－y22＋z1－z22).提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.1．已知 a＝(5,3,1)，b＝，若 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．[解] 由已知 a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 a·b＜0，即 3t－＜0，所以 t＜.若 a 与 b 的夹角为 180°，则存在 λ＜0，使 a＝λb，即(5,3,1)＝λ，所以所以 t＝－，故 t 的范围是∪.利用空间向量证明平行、垂直问题【例 2】 四棱锥 PABCD 中，PD⊥平面 ABCD，ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点，求证：(1)PC∥平面 EBD；(2)平面 PBC⊥平面 FCD.[证明] 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC，DA，DP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a,0,0)，B(a，a, 0)，P(0,0 ，b) ，E.(1)DE＝，DB＝(a，a,0)．设平面 EBD 的一...