高中数学 第3章 导数应用 1 1.1 导数与函数的单调性学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

1. 1 导数与函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点)1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”(向上或向下)越小小比较“平缓”(向上或向下)思考：如果在区间(a，b)内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)有什么特性？[提示] 函数 f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且 f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定A [由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增， f(a)≥0，∴在(a，b)内有 f(x)>0.]2．已知函数 y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )1B [由 f′(x)图像可知，f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选 B.]3．已知函数 f(x)＝x2－x，则函数 f(x)的单调增区间是( )A．(－∞，－1)和(0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－1,0)和(1，＋∞) D．(1，＋∞)D [法一：f(x)＝x2－x＝(x－1)2－，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，可知函数 f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x－1，令 f′(x)>0，解得 x>1．故函数 f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]单调性与导数的关系【例 1】 (1)函数 y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法：① 函数 y＝f(x)的定义域是[－1,5]；② 函数 y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③ 函数 y＝f(x)在定义域内是增函数；④ 函数 y＝f(x)在定义域内的导数 f′(x)>0.其中正确的序号是( )A．①② B．①③C．②③ D．②④(2)设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图像可能为( )A BC D思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注...