2．2.3 向量的数乘 1.了解向量数乘运算的几何意义． 2.理解向量共线定理． 3.掌握向量数乘运算法则及运算律．1．向量的数乘的定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，长度和方向有如下规定：(1)|λa|＝| λ || a | ．(2)当 λ＞0 时，λa 与 a 方向相同；当 λ＜0 时，λa 与 a 方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0．2．向量数乘的运算律设 λ，μ 为实数，那么：(1)λ(μa)＝( λμ ) a ，(2)(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ，(3)λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b ．3．向量共线定理以及向量的线性运算(1)向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b ＝ λ a ．(2)向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算．对于任意向量 a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)共线向量定理中，条件 a≠0 可以去掉．( )(2)λa 的方向与 a 的方向一致．( )解析：(1)错误．若条件 a≠0 去掉，当 b≠0，a＝0 时，λ 不存在．(2)错误．当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向一致；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0，方向任意．答案：(1)× (2)×2．4(a－b)－3(a＋b)－b＝( )A．a－2bB．aC．a－6bD．a－8b解析：选 D．原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.3．若|a|＝5，b 与 a 的方向相反，且|b|＝7，则 a＝________b.解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，又方向相反，所以 a＝－b.答案：－4．若 2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中 a，b，c 为已知向量，则未知向量 y＝________．解析：由 2－(c＋b－3y)＋b＝0，得 2y－a－c－b＋y＋b＝0，即 y－a－c＋b＝0，所以 y＝a－b＋c.答案：a－b＋c 向量的线性运算 化简下列各式：(1)4(a＋b)－3(a－b)；(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．【解】 (1)4(a＋b)－3(a－b)＝(4a－3a)＋(4b＋3b)＝a＋7b.(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0＋0＝0.向量线性运算的基本方法关于向量数乘的有关运算，只需把向量符号看做一般字母符号，然后按照实数的运算方法进行计算即可．其中向量的数乘之间的和差运算，相当于合并同类项． 1.化简下列各式．(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c...
