§4 用向量讨论垂直与平行学习目标：1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．(重点) 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理．(重点) 能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用，并培养学生的运算能力．(难点)1．空间中平行关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 μ，v，则线线平行l∥m⇔a ∥ b ⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ ＝ 0 面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ ＝ k v ( k ∈ R ) 2.立体几何中垂直关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2.(1)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b ＝ 0 ．(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥n1⇔a ＝ k n 1( k ∈ R ) ．(3)面面垂直：α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1· n 2＝ 0 ．思考：用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么？[提示] 需要确定直线的方向向量和平面的法向量，然后把证明线、面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系．1.判断正误(1)直线上任意两个不同的点 A、B 表示的向量AB都可作为该直线的方向向量．( )(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行．( )(3)两个平面垂直则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．若 a＝(1，2，3)是平面 α 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 α 的法向量的是( )A．(0，1，2) B．(3，6，9)C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)B [ (3，6，9)＝3(1，2，3)＝3a，a⊥α，∴(3，6，9)可作平面的一个法向量．]3．若直线 l 的方向向量是 u＝(1，3，0)，平面 α 的法向量是 v＝(－3，1，5)，则直线 l 与平面 α 的位置关系为________．lα 或 l∥α [ u·v＝1×(－3)＋3×1＋0×5＝0，∴u⊥v，∴l α 或 l∥α.]4．若平面 α，β 的法向量分别为 u＝(2，－3，5)，v＝，则平面 α，β 的位置关系为______1__．垂直 [u·v＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×＝0.所以 u⊥v，所以 α⊥β，即平面 α，β 的位置关系为两平面相互垂直．]求平面的法向量【例 1】 如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，E 为B1D1的中点，过 A1，D，E 的平面交 CD1于 F，求平面 A1DE、平面 A1B1CD 的一个法向量．[解] ...
