高中数学 第2章 空间向量与立体几何 5 5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角 5.3 直线与平面的夹角学习目标：1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点) 体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点) 1．直线间的夹角(1)共面直线的夹角当两条直线 l1与 l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角，如图所示．(2)异面直线的夹角当直线 l1与 l2是异面直线时，在直线 l1上任取一点 A 作 AB∥l2，我们把直线 l1和直线 AB的夹角叫作异面直线 l1与 l2的夹角，如图所示．两条异面直线的夹角的范围为，当夹角为时，称这两条直线异面垂直．(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定．已知直线 l1与 l2的方向向量分别为 s1，s2.① 当 0≤〈s1，s2〉≤时，直线 l1与 l2的夹角等于〈 s 1， s 2〉；② 当<〈s1，s2〉≤π 时，直线 l1与 l2的夹角等于 π －〈 s 1， s 2〉．思考：空间两条直线的夹角的范围是多少？[提示] 2．平面间的夹角(1)平面间夹角的概念如图，平面 π1与 π2相交于直线 l，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 π1上作直线l1⊥l，在平面 π2上作直线 l2⊥l，则 l1∩l2＝R.我们把直线 l1和 l2的夹角叫作平面 π1与 π2的夹角．(2)平面间夹角的求法．设平面 π1与 π2的法向量分别为 n1与 n2.① 当 0≤〈n1，n2〉≤时，平面 π1与 π2的夹角等于〈 n 1， n 2〉；② 当＜〈n1，n2〉≤π 时，平面 π1与 π2的夹角等于 π －〈 n 1， n 2〉．事实上，设平面 π1与平面 π2的夹角为 θ，则1cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.思考：空间中两个平面的夹角的范围是多少？[提示] 3．直线与平面的夹角设直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 的夹角为 θ.1.判断正误(1)两异面直线的夹角与两直线的方向向量的夹角相等．( )(2)若向量 n1，n2 分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝.( )(3)直线与平面夹角的范围为.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150°，则 l1与 l2这两条异面直线的夹角等于( )A．30° B．150°C．30°或 150° D．以上均错A [直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150°，l1与 l2这两条异面直线的夹角等于 180°－150°＝30°，选 A.]3...