3.3 几何概型互动课堂疏导引导1.几何概型的定义 在古典概型中,利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率；不过,古典概型要求可能结果的总数必须有限.这不能不说是一个很大的限制,人们当然要竭力突破这个限制,以扩大自己的研究范围.因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多个结果而又有某种等可能性的场合.这类问题一般可以通过几何方法来求解. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 对于这一定义也可以作以下理解：设在空间上有一区域 D,又知区域 d 包含在区域 D 内（如下图所示）,而区域 D 与 d 都是可以度量的（可求面积、长度、体积等）,现随机地向 D内投掷一点 M,假设点 M 必落在 D 中,且点 M 可能落在区域 D 的任何部分,那么落在区域 d 内的概率只与 d 的度量（长度、面积、体积等）成正比,而与 d 的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点）,称为几何概型.2.几何概型的概率计算一般地,在几何区域 D 中随机地抽取一点,记“该点落在其内部的一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率P(A)=. 这里要求 D 的测度不为 0,其中“测度”的意义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.疑难疏引 （1）几何概型的概率的取值范围 同古典概型概率的取值范围一样,几何概型的概率的取值范围也是 0≤P(A)≤1.这是因为区域 d 包含在区域 D 内,则区域 d 的“测度”不大于区域 D 的“测度”.当区域 d 的“测度”为 0 时,事件 A 是不可能事件,此时 P(A)=0；当区域 d 的“测度”与区域 D 的“测度”相等时,事件 A 是必然事件,此时 P(A)=1.（2）求古典概型概率的步骤：① 求区域 D 的“测度”；② 求区域 d 的“测度”；③ 代入计算公式.（3）对于一个具体问题能否应用几何概率公式计算事件的概率,关键在于将问题几何化,也即可根据问题的情况,选取合适的参数,建立适当的坐标系,在此基础上,将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点,使得全体结果构成一个区域,且是可度量的.案例 1 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过（假设每一辆车带走站上的所有乘客）,乘...
