高中数学 第2章 空间向量与立体几何 6 距离的计算学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

§6 距离的计算学习目标：1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念．(难点) 掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．(重点) 通过转化，会利用空间向量解决距离问题，从而培养准确的运算能力．(难点)1．利用向量求点 A 到直线 l 的距离步骤：(1)找到直线 l 的方向向量 s，并求 s0＝；(2)在直线 l 上任取一点 P；(3)计算点 P 到点 A 的距离|PA|；(4)计算PA在向量 s 上的投影PA·s0；(5)计算点 A 到直线 l 的距离d＝.2．利用向量求点 A 到平面 π 的距离步骤：(1)找到平面 π 的法向量 n；(2)在平面 π 内任取一点 P；(3)计算PA在向量 n 上的投影PA·n0；(4)计算点 A 到平面 π 的距离 d＝|PA·n0|.思考：如图，P 是平面 α 外一点，PO⊥α 于 O，PA，PB 是 α 的两条斜线段.PA与PB在PO上的投影大小相等吗？如果相等都等于什么？ [提示] 相等，都等于|PO|，即 P 到平面 α 的距离．1.判断正误(1)平面 α 外一点 A 到平面 α 的距离，就是点 A 与平面内一点 B 所成向量AB的长度．( )(2)直线 l∥平面 α，则直线 l 到平面 α 的距离就是直线 l 上的点到平面 α 的距离．( )(3)若平面 α∥β，则两平面 α，β 的距离可转化为平面 α 内某条直线到平面 β 的距离，也可转化为平面 α 内某点到平面 β 的距离． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知直线 l 过定点 A(2，3，1)，且方向向量为 n＝(0，1，1)，则点 P(4，3，2)到 l 的距离为( )A. B.C. D.A [PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝，PA·＝，则点 P 到直线 l 的距离 d＝＝＝.]3．已知平面 α 的一个法向量 n＝(－2，－2，1)，点 A(－1，3，0)在 α 内，则 P(－2，1，4)到1α 的距离为( )A．10 B．3C. D.D [ A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴AP＝(－1，－2，4)， n＝(－2，－2，1)，∴n0＝＝，∴d＝|AP·n0|＝＝.]4．已知直线 AB∥平面 α，平面 α 的法向量 n＝(1，0，1)，平面 α 内一点 C 的坐标为(0 ，0 ，1)，直线 AB 上点 A 的坐标为(1，2，1)，则直线 AB 到平面 α 的距离为________． [CA ＝(1，2，0)，直线 AB 到平面 α 的距离 d＝|CA·n0|＝.]点到直线的距离【例 1】 如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，已知 AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点 A1到下列直线的距离：(1)直线 AC；(2)直线 BD.[解] (1)在长方体 ABCD－A1B1C1D1...