第 2 章 空间向量与立体几何1．空间向量的概念与运算(1)空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似．(2)空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，①加法、减法、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；② 数量积运算结果为实数．2．空间向量的坐标运算设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；③a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3；④a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；⑥|a|2＝a·a⇒|a|＝(向量模与向量之间的转化)；⑦cos〈a，b〉＝＝；⑧ 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|AB|＝．3．空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的法向量分别为 μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇔a ⊥ μ ⇔a·μ＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ ＝ k v ， k ∈ R 线线垂直l⊥m⇔a ⊥ b ⇔a·b ＝ 0 线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a ＝ k μ ， k ∈ R 面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ · v ＝ 0 线线夹角l，m 的夹角为 θ，cos θ＝线面夹角l，α 的夹角为 θ，sin θ＝面面夹角α，β 的夹角为 θ，cos θ＝4.空间距离的计算(1)点到直线的距离若直线 l 的方向向量为 s，s0＝，点 P 是直线 l 上的点，点 A 是直线外任一点，则点 A 到直线l 的距离 d＝．(2)点到平面的距离若 n0为平面 α 的单位法向量，点 P 是平面 α 内一点，点 A 是平面 α 外一点，则点 A 到该平面的距离 d＝| PA · n0 | ．空间向量及其运算1【例 1】 (1)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，S 到 A、B、C、D 的距离都等于 2.给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0；④SA·SB＝SC·SD；⑤SA·SC＝0，其中正确结论的序号是________．(2)如图，在平行六面体 A1B1C1D1—ABCD 中，M 分AC成的比为，N 分A1D成的比为 2，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用 a、b、c 表示MN.(1)③④ [容易推出：SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝0，所以③正确；又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA·SB＝2·2·cos∠ASB，SC·SD＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝...
