第 1 课时 向量数量积的物理背景及其含义 1.了解向量的数量积的物理意义． 2.理解向量的数量积的含义． 3.掌握向量的数量积的运算．1．向量的夹角的定义(1)定义：对于两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．(2)范围：范围为 0 °≤ θ ≤180° 或 θ∈[0 ， π] ．2．向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量| a || b | cos θ 叫做向量 a和 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝| a || b | cos θ ．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0．(3)特例：①当 θ＝0°时，a 与 b 同向，a·b＝| a || b | ；特别地，a·a＝| a | 2 或|a|＝．② 当 θ＝180°时，a 与 b 反向，a·b＝－ | a || b | ．③ 当 θ＝90°时，称向量 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b ，a·b＝0．3．向量的数量积的运算律已知向量 a，b，c 和实数 λ，则(1)a·b＝b · a ；(2)(λa)·b＝a ·( λ b ) ＝λ a · b ＝λ ( a · b ) ；(3)(a＋b)·c＝a · c ＋ b · c ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的数量积的运算结果是一个向量．( )(2)若 a·b＝b·c，则一定有 a＝c.( )解析：(1)错误．向量的数量积是一个数．(2)错误．向量 b 与向量 a，c 可能垂直，所以 a 与 c 不一定相等．答案：(1)× (2)×2．若|m|＝4，|n|＝6，m 与 n 的夹角为 45°，则 m·n＝( )A．12B．12C．－12D．－12答案：B3．已知△ABC 中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则BC·CA＝________．解析：画图可知向量BC与CA夹角为角 C 的补角(图略)，故BC·CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16.答案：－164．已知 a 和 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a＋b 和向量 ka－b 垂直，则 k＝________．解析：因为 a、b 是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.又 ka－b 和 a＋b 垂直，所以(a＋b)·(ka－b)＝0，所以 k－1＋ka·b－a·b＝0，即 k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ 为 a、b 夹角)，所以(k－1)(1＋cos θ)＝0.又因为 a 和 b 不共线，所以 cos θ≠－1，所以 k＝1.答案：1 数量积的基本运算 (1)已知|a|＝3，|b|＝6，当① a∥b，② a⊥b，③ a 与 b 的夹角是 60° 时，分别求a·b.(2) 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， |AB| ＝ 4 ，...
