第 2 课时 向量数量积的坐标表示、模、夹角 1.了解向量数量积的坐标表示． 2.理解向量数量积的坐标运算．3．掌握利用向量的数量积求向量的夹角、平行、垂直等问题．1．向量数量积的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．求向量模的公式设 a＝(x，y)，则|a|2＝a2＝a·a＝x2＋y2或|a|＝．3．两点间距离公式设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝．4．向量的夹角公式设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a≠0，b≠0，a 与 b 夹角为 θ，则 cos θ＝＝ .特别地，若a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ．反之，若 x1x2＋y1y2＝0，则 a⊥b.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇒x1x2＋y1y2＝0.( )(2)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ＜0，则两向量的夹角 θ 一定是钝角．( )(3)若 A(1，0)，B(0，－1)，则|AB|＝.( )解析：(1)错误．当 a＝0 或 b＝0 时，x1x2＋y1y2＝0.此时 a∥b.(2)错误．如 a＝(－1，－1)，b＝(1，1)，则 cos θ＝－1＜0，但 a 与 b 的夹角是 180°而并不是钝角．(3)正确．由两点间的距离公式，得|AB|＝＝.答案：(1)× (2)× (3)√2．已知 a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则 a·b 的值是( )A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________．解析：a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2，因为 a⊥b，所以 4k＋2＝0，k＝－.答案：－4．已知 a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________．解析：因为 a＝(，1)，b＝(－，1)，所以 cos θ＝＝－，又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.答案：120° 向量数量积的坐标运算 已知向量 a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)c，a(b·c)．【解】 (1)a·b＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17.(2)因为 a＋b＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)，2a － b ＝ 2(1 ， 3) － (2 ， 5) ＝ (2 ， 6) － (2 ， 5) ＝ (0 ， 1) ， 所 以 (a ＋ b)·(2a － b) ＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)c＝17c＝17(2，1)＝(34，17)，a(b·c)＝a((2，5)·(2，1))＝(1，3)·(2×2＋5×1)＝9(1，3)＝(9，27)．若本例的条件不变，求(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.解：(1)2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝...
