2.4 向量的数量积课前导引问题导入一物体在力 F 的作用下沿水平方向运动，已知 AB=10 米，F 与水平方向成 60°角，F=5 N，求物体从 A 到 B 力 F 所做的功.思路分析：首先求出力 F 在水平方向上的分力|F1|=|F|cos60°=5×=,由物理学知识可知力 F 对物体所做的功是：W=|F1|·|s|=×10=25(焦耳).力 F 对物体所做的功 W=|F|·|s|cos60°,即两个向量 F、s 的模与其夹角余弦的积是数量，这个量就是这节课要学习的两个向量的数量积.知识预览1.已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ ,我们把数量|a||b|cosθ 叫做向量 a 和 b 的数量积，记作 a·b.规定零向量与任一向量的数量积为零.2.对于两个非零向量 a 和 b，作=a,=b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，其范围是0°≤θ≤180°.当 θ=90°时，称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.3.数量积的运算律：（1）a·b=b·a；（2）(λa)·b=a·λ(b)=λ(a·b)=λa·b；（3）(a+b)·c=a·c+b·c.4.|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，它是数量.5.已知两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.6.（1）若 a=（x,y）则|a|2=x2+y2，或|a|=.（2）如果表示向量 a 的有向线段起点和终点的坐标分别为（x1,y1）、(x2,y2)，那么 a=(x2-x1,y2-y1)，|a|=.7.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥bx1x2+y1y2=0.应用该条件要注意：由 a⊥b,可得 x1x2+y1y2=0;反过来，由 x1x2+y1y2=0,可得 a⊥b.8.设 a、b 是非零向量，a=（x1,y1）,b=(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角，两向量夹角余弦的坐标表达式为 cos〈a,b〉=.
