3.4 互斥事件及其发生的概率案例探究 有 3 个 1 g 砝码，3 个 3 g 砝码和 2 个 5g 砝码，任意取出 2 个砝码，想一想，如何求下面三个事件的概率？ （1）两个砝码重量相同的概率； （2）两个砝码总重为 6g 的概率； （3）两个砝码总重量不超过 8g 的概率. 解析：（1）记“两个砝码重量相同”的事件为 A． “两个砝码重量都是 1g”的事件为 A1. “两个砝码重量都是 3g”为事件 A2，“两个砝码重量都是 5g”为事件 A3，A1、A2、A3是互斥的. 显然 A=A1+A2+A3，由前面知识得 P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=.（为什么） 由互斥事件的加法公式，有 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=++=. （2）记“两个砝码总重量为 6g”为事件 B． “两个砝码中一个砝码为 1g，另一个砝码为 5 g”为事件 B1，“两个砝码重量都为3g”为事件 B2，B1，B2互斥. 显然 B=B1+B2. P（B1）==，P（B2）=.（为什么） ∴P（B）=P（B1）+P（B2）=+=. （3）正面去求比较复杂，故可考虑其对立事件. 设“两个砝码总重量大于 8 g”的事件为 C．“两个砝码总重量不超过 8g”的事件为D，则 C 与 D 为对立事件.两个砝码总重量超过 8g，其中只包括两个砝码都是 5g 的情况，于是 P（C）=. ∴P（D）=1-P（C）=1-=.自学导引 1．不能同时发生的两个事件称为互斥事件（exclusive events）. 2．如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于事件 A ， B 分别发生的概率的 和，即 P （ A+B ） =P （ A ） +P （ B ） . 一般地，如果事件 A1，A2，…，An两两互斥，则 P （ A 1+A2+…+An） =P （ A 1） +P （ A 2） +… +P （ A n） . 3．两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件（ complementary events）.事件 A 的对立事件记为 A． 4．对立事件 A 与 A 必有一个发生，故 A+A 是必然事件，从而 P（A）+P（）=P （ A+ ） =1. 由此，我们可以得到一个重要公式： P （ ） =1-P （ A ） . 5．体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班 50 名学生参加了体育考试，结果如下：优85 分及以上9 人良75～84 分15 人中60～74 分21 人不及格60 分以下5 人 （1）体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为 A，B，C，D．则A，B，C，D 之间的关系为彼此互斥 . （2）若将“体育成绩及格”记为事件 E，则 ...
