§2.5 向量的应用学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．知识点一 几何性质与向量的关系设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b 的夹角为 θ.思考 1 证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量共线的相关知识：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．思考 2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案 可用向量垂直的相关知识：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理 平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．3．把运算结果“翻译”成几何关系．知识点三 物理中的量和向量的关系1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算．1．功是力 F 与位移 S 的数量积．( √ )2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ )3．某轮船需横渡长江，船速为 v1，水速为 v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( √ )类型一 用平面向量求解直线方程例 1 已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点 D，E，F 分别为边BC，CA，AB 的中点．(1)求直线 DE，EF，FD 的方程；(2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．解 (1)由已知得点 D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，则DM∥DE.DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程．同理可求，直线 EF，FD 的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点 N(x，y)是 CH 所在直线上任意一点，则CN⊥AB.∴CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4，4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即 x＋y＋4＝0 为所求直线 CH 的方程．反思与感悟 利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．跟踪训练 1 在△ABC 中，A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，求∠A 的平分线所在的直线方程．解 AB＝(3，4)，AC...
