3.2 平面向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量基本定理及其意义．(重点)2.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(难点)1.通过学习平面向量基本定理提升数学抽象素养．2.通过平面向量基本定理解决实际问题，培养直观想象素养.平面向量基本定理如果 e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．思考：若存在 λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且 a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？[提示] 由已知得 λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2. e1与 e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.1．设 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2D．e1，e1＋e2[答案] B2．设 O 为平行四边形 ABCD 的对称中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则 2e1－3e2等于( )A.OA B.OBC.OCD.ODB [如图，OB＝DB＝(AB－BC)＝2e1－3e2.]3．已知向量 a 与 b 是一组基底，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则 x－y＝________.3 [由原式可得解得所以 x－y＝3.]4．已知向量 a 与 b 不共线，且AB＝a＋4b，BC＝－a＋9b，CD＝3a－b，则共线的三点为________．A，B，D [BD＝BC＋CD＝－a＋9b＋3a－b＝2a＋8b，因为AB＝a＋4b，所以AB＝BD，所以 A，B，D 三点共线．]对向量基底的理解【例 1】 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．③④B [①AD与AB不共线；②DA＝－BC，则DA与BC共线；③CA与DC不共线；④OD＝－OB，则OD与OB共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故 ①③满足题意．]考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.1．设 e1，e2是平面内一组基向量，且 a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量 e1＋e2可以表示为另一组基向量 a，b 的线性组合，即 e1＋e2＝________a＋________b. － [由题意，设 e...
