§6 平面向量数量积的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握数量积的坐标表达式．(重点)2.能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点)3.了解直线的方向向量的概念．(难点)1.通过学习直线方向向量的概念及数量积的坐标表示，体会数学抽象素养．2.通过求解两向量的夹角及判断两向量的垂直关系，提升数学运算素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝x1x2＋ y 1y2；(2)a2＝x＋y，即|a|＝；(3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝＝；(4)a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .思考 1：垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？[提示] 能．a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0.2．直线的方向向量给定斜率为 k 的直线 l，则向量 m＝(1，k)与直线 l 共线，我们把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量．思考 2：直线的方向向量唯一吗？[提示] 不唯一．因为与直线 l 共线的非零向量有无数个，所以直线 l 的方向向量也有无数个．1．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )A．－3 B．－2 C．2 D．3C [因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝＝1，解得 t＝3，所以BC＝(1,0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选 C.]2．已知 a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且 a⊥b，则 x＝________.2 [由题意知 a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得 x＝2.]3．已知向量 a＝(4，－1)，b＝(x,3)，若|a|＝|b|，则 x＝________.±2 [由|a|＝|b|得＝，解得 x＝±2.]4．已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a 与 b 的夹角为________． [设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝＝，又 θ∈[0，π]，所以 θ＝.]平面向量数量积的坐标运算【例 1】 已知向量 a 和 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.[解] (1)设 a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，解得 λ＝2.∴a＝(2,4)．(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.1．(1)已知向量 a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则 k＝( )A．－12 B．－6 C．6 D．12(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 ...
