第 2 章 平面向量1 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面．一、化简例 1 化简下列各式：(1)(2AB－CD)－(AC－2BD)；(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]．解 (1)(2AB－CD)－(AC－2BD)＝2AB－CD－AC＋2BD＝2AB＋DC＋CA＋2BD＝2(AB＋BD)＋(DC＋CA)＝2AD＋DA＝AD.(2)[3(2a＋8b)－6(4a－2b)]＝(6a＋24b－24a＋12b)＝(－18a＋36b)＝－a＋b.点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a，b，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量．二、求参数例 2 如图，已知△ABC 和点 M 满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数 m 使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.解析 如图，因为MA＋MB＋MC＝0，即MA＝－(MB＋MC)，即AM＝MB＋MC，延长 AM，交 BC 于 D 点，所以 D 是 BC 边的中点，所以AM＝2MD，所以AD＝AM，所以AB＋AC＝2AD＝3AM，所以 m＝3.答案 3点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值．三、表示向量例 3 如图所示，在△ABC 中，AD＝AB，DE∥BC 交 AC 于点 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于点N，设AB＝a，AC＝b，用向量 a，b 表示AE，BC，DE，DN，AM.解 因为 DE∥BC，AD＝AB，所以AE＝AC＝b，BC＝AC－AB＝b－a，由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a)，又 M 是△ABC 底边 BC 的中点，DE∥BC，所以DN＝DE＝(b－a)，AM＝AB＋BM＝a＋BC＝a＋(b－a)＝(a＋b)．点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．2 走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试...
