高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角和与差的余弦学案 苏教版必修4-苏教版高二必修4数学学案

3.1.1 两角和与差的余弦学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.理解两角和与差的余弦公式间的关系，熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用公式进行化简求值．知识点一 两角差的余弦思考 1 cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立吗？答案 不成立．思考 2 单位圆中(如图)，∠P1Ox＝α，∠P2Ox＝β，那么 P1，P2的坐标是什么？OP1与OP2的夹角是多少？答案 P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ).OP1与OP2的夹角是 α－β.思考 3 由思考 2，体会两角差的余弦公式的推导过程．答案 在直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边分别作角 α，β，其终边分别与单位圆交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ )，则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为 2π 的偶函数，所以，我们只需考虑 0≤α－β≤π 的情况．设向量 a＝OP1＝(cosα，sinα)，b＝OP2＝(cosβ，sinβ)，则 a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)．另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(C(α－β))梳理 两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .(C(α－β))知识点二 两角和的余弦思考 你能根据两角差的余弦推导出两角和的余弦吗？答案 能，cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinα·sin(－β)＝cosαcosβ－sinα·sinβ.梳理 两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos α cos β － sin α sin β .(C(α＋β))特别提醒：(1)公式中的角 α，β 是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．1.存在角 α，β，使得 cos(α－β)＝cosα－cosβ.( √ )提示 如 α＝，β＝，cos(α－β)＝cos＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝，满足cos(α－β)＝cosα－cosβ.2．任意角 α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.( × )提示 由两角差的余弦公式可知不正确．3．任意角 α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( √ )4．不存在角 α，β，使得 cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.( × )提示 如 α＝β＝0，cos(α＋β)＝cos0＝1，cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.类型一 ...