3.1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．知识点 两角和与差的正弦思考 1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案 sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考 2 如何推导两角差的正弦呢？答案 可以由 sin(α－β)＝cos＝cos 得到，也可以由 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．梳理 (1)两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin α cos β ＋ cos α sin β α，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R记忆口诀：“正余余正，符号相同”．(2)辅助角公式asinx＋bcosx＝，令 cosφ＝，sinφ＝，则有 asinx＋bcosx＝(cosφsinx＋sinφcosx)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，φ 为辅助角．1.任意角 α，β，都有 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.( √ )提示 由两角和的正弦公式知结论正确．2．存在角 α，β，使 sin(α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ.( × )提 示 由 两 角 差 的 正 弦 公 式 知 不 存 在 角 α ， β ， 使 sin(α － β)≠sinαcosβ －cosαsinβ.3．存在角 α，β，使 sin(α＋β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.( √ )提示 如 α＝β＝0 时，sin(α＋β)＝0，sinαcosβ－cosαsinβ＝0.类型一 给角求值例 1 (1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝.(2)＝.答案 解析 原式＝＝＝＝sin30°＝.反思与感悟 (1)解答给角求值题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练 1 计算：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．解 (1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.(2)原式...
