高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切学案 苏教版必修4-苏教版高二必修4数学学案

3.1.3 两角和与差的正切学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一 两角和与差的正切公式思考 1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案 tan(α＋β)＝＝，分子分母同除以 cosαcosβ，便可得到．思考 2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案 用－β 替换 tan(α＋β)中的 β 即可得到．梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β 均不等于 kπ＋(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β 均不等于 kπ＋(k∈Z)知识点二 两角和与差的正切公式的变形1．T(α＋β)的变形tanα＋tanβ＝tan( α ＋ β )(1 － tan α tan β ) ． tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan( α ＋ β ) ． tanαtanβ＝1－.2．T(α－β)的变形tanα－tanβ＝tan( α － β )(1 ＋ tan α tan β ) ． tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan( α － β ) ． tanαtanβ＝－1.1．对于任意角 α，β，总有 tan(α＋β)＝.( × )提示 公式成立需 α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.2．使公式 tan(α±β)＝有意义，只需 α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．( × )提示 还应使 α±β≠kπ＋，k∈Z.3 ． 若 α ， β ， α ＋ β≠kπ ＋ ， k∈Z ， 则 tan(α ＋ β) ＝ tanα ＋ tanβ ＋tanαtanβtan(α＋β)恒成立．( √ )4．α≠kπ－，且 α≠kπ＋，k∈Z 时，tan＝.( √ )类型一 正切公式的正用例 1 (1)已知 tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则 tanβ 的值为．答案 3解析 tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.(2)已知 α，β 均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则 α＋β＝.答案 解析 因为 tan α＝，tan β＝，所以 tan(α＋β)＝＝＝1.因为 α，β 均为锐角，所以 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝.反思与感悟 (1)注意用已知角来表示未知角．(2)利用公式 T(α＋β)求角的步骤：① 计算待求角的正切值．② 缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．③ 根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练 1 已知 θ 是第四象限角，且 sin＝，则 tan＝.答案 －解析 由题意，得 cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－.类型二 正...