高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 第2课时 二倍角的三角函数的应用学案 苏教版必修4-苏教版高二必修4数学学案

第 2 课时 二倍角的三角函数的应用学习目标 1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换．知识点 降幂公式思考 如何用 cosα 表示 sin2，cos2？答案 cosα＝2cos2－1＝1－2sin2，∴sin2＝，cos2＝.梳理 降幂公式(1)sin2＝.(2)cos2＝.(3)tan2＝.类型一 化简求值例 1 (1)化简 cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ；(2)已知 π＜α＜，化简：＋.解 (1)cos2(θ＋15°)＋cos2(θ－15°)－cos2θ＝＋－cos2θ＝1＋[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]－cos2θ＝1＋(cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°)－cos2θ＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ＝1＋cos2θ－cos2θ＝1.(2) π＜α＜，∴＜＜，原式＝＋＝－＋＝－cos.跟踪训练 1 (1)化简 sin2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋cos2θ；(2)求证：tan2x＋＝.(1)解 原式＝＋＋cos2θ＝1－[cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)]＋cos2θ＝1－(2cos2θcos30°)＋cos2θ＝1－cos2θ＋cos2θ＝1.(2)证明 左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝右边，∴等式成立．类型二 与三角函数性质有关的问题例 2 已知函数 f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．解 (1) f(x)＝sin＋2sin2＝sin＋1－cos＝2＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，∴T＝＝π.(2)当 f(x)取得最大值时，sin＝1，有 2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即 x＝kπ＋ (k∈Z)，∴所求 x 的集合为.反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值．解 (1)由已知，得 f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝＝sin.所以 f(x)的最小正周期 T＝＝π.(2)因为 f(x)在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，f＝－，f＝－，f＝.所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.类型三 三角函数在实际问题中的应用例 3 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问 α 为何值时，四边形 ABTP 面积最大？解 如图所示， AB 为直径...