§3.3 几个三角恒等式学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程.2.掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一 积化和差与和差化积公式思考 1 如何用 sin(α＋β)，sin(α－β)表示 sinαcosβ 和 cosαsinβ？答案 ∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得 cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考 2 若 α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用 θ，φ 表示 α，β？答案 α＝，β＝.梳理 (1)积化和差公式sin αcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式sinα＋sinβ＝2sincos.sinα－sinβ＝2cossin.cosα＋cosβ＝2coscos.cosα－cosβ＝－2sinsin.知识点二 万能代换公式思考 结合前面所学倍角公式，能否用 tan 表示 sinα？答案 sinα＝2sincos＝＝，即 sinα＝.梳理 万能公式(1)sinα＝.(2)cosα＝.(3)tanα＝.知识点三 半角公式思考 1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用替换α，结果怎样？答案 结果是 cosα＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2.思考 2 根据上述结果，试用 sinα，cosα 表示 sin，cos，tan.答案 cos2＝，∴cos＝±，同理 sin＝±，∴tan＝＝±.思考 3 利用 tanα＝和倍角公式又能得到 tan 与 sinα，cosα 怎样的关系？答案 tan＝＝＝，tan＝＝＝.梳理 半角公式(1)sin＝±. (2)cos＝±.(3)tan＝±＝＝.特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定．(2)半角与倍角一样，也是相对的，即是 α 的半角，而 α 是 2α 的半角．1．若 α≠kπ，k∈Z，则 tan＝＝恒成立．( √ )2．cosαsinβ＝.( × )类型一 积化和差与和差化积公式例 1 求下列各式的值．(1)sin37.5°cos7.5°；(2)sin20°·sin40°·sin80°；(3)sin20°cos70°＋sin10°sin50°.解 (1)sin37.5°cos7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin45°＋sin30°)＝.(2)sin20°·sin40°·sin80°＝－[cos 60°－cos(－20°)]·sin80°＝－sin80°＋sin80°cos20°＝－sin80°＋×(sin100°＋sin60°)＝－sin80°＋sin80°＋＝.(3)si...
