3 几个三角恒等式学习目标 1
理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过程
掌握积化和差、和差化积、万能公式的结构特征
能利用所学三角公式进行三角恒等变换．知识点一 积化和差与和差化积公式思考 1 如何用 sin(α＋β)，sin(α－β)表示 sinαcosβ 和 cosαsinβ
答案 ∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即 sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得 cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．思考 2 若 α＋β＝θ，α－β＝φ，则如何用 θ，φ 表示 α，β
答案 α＝，β＝
梳理 (1)积化和差公式sin αcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式sinα＋sinβ＝2sincos
sinα－sinβ＝2cossin
cosα＋cosβ＝2coscos
cosα－cosβ＝－2sinsin
知识点二 万能代换公式思考 结合前面所学倍角公式，能否用 tan 表示 sinα
答案 sinα＝2sincos＝＝，即 sinα＝
梳理 万能公式(1)sinα＝
(2)cosα＝
(3)tanα＝
知识点三 半角公式思考 1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用替换α，结果怎样
答案 结果是 cosα＝2cos2－1＝1－2sin2＝cos2－sin2
思考 2 根据上述结果，试用 sinα，cosα 表示 sin，cos，tan
答案 cos2＝，∴cos＝±，同理 sin＝±，∴tan＝＝±
思考 3 利用 tanα＝和倍角公式又能得到 tan
