第 3 章 三角恒等变换1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角之间的联系，消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地利用条件得出结论，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧．一、利用条件中的角表示目标中的角例 1 设 α，β 为锐角，且满足 cosα＝，tan(α－β)＝－，求 cosβ 的值．分析 利用变换 β＝α－(α－β)寻找条件与所求之间的关系．解 α，β 为锐角，且 tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.∴sin(α－β)＝－＝－，cos(α－β)＝＝，sinα＝＝.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.二、利用目标中的角表示条件中的角例 2 设 α 为第四象限的角，若＝，则 tan2α＝_________________________.分析 要求 tan2α 的值，注意到 sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα，代入到＝，首先求出 cos2α 的值后，再由同角三角函数之间的关系求出 tan2α.解析 由＝＝＝2cos2α＋cos2α＝. 2cos2α＋cos2α＝1＋2cos2α＝.∴cos2α＝. α 为第四象限的角，∴2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，∴4kπ＋3π<2α<4kπ＋4π(k∈Z)，∴2α 可能在第三、四象限，又 cos2α＝，∴2α 在第四象限，∴sin2α＝－，tan2α＝－.答案 －三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角例 3 已知 sin＝，0
