高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.1 平均数及其估计知识导引学案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学学案

2.3．1 平均数及其估计案例探究 为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了地区内 100 名年龄为 17.5~18 岁的男生的体重情况,结果如下（单位:kg）56.569.56561.564.566.56464.57658.57273．556677057.565.56871756268.562．56659.563．564.567.57368557266.574636055.57064.5586470.55762．5656971．573625876716663．55659.563．5657074.568.56455.572．566.5687657.56071．55769.57464.55961．5676863．5585965.562．569.57264.575.568.5646265.558.567.570.5656666.5706359.5根据上述数据我们可以画出样本的频率分布直方图,并对相应的总体分布作出估计. 由于图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，这个图形的面积反映了数据落在各个小组的频率的大小.在得到了样本的频率后，就可以对相应的总体情况作出估计.例如从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，体重在（64.5，66.5）kg 的学生比体重为其他值的学生数多，但他并没有告诉我们多多少. 试问：怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？ 能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？ 初中我们曾经学过众数、中位数、平均数等各种数字特征.应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息. 我们常用算术平均数（其中 ai（i=1,2,…,n）为 n 个实验数据）作为体重的最理想的近似值，它的依据是什么呢？ 处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小，设这个近似值为x，那么它与 n 个实验值 ai（i=1,2,…,n）的离差分别为x－a1，x－a2，x－a3,…,x－an.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加.可以考虑将各个离差的绝对值相加，研究|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|取最小值时 x 的值.但由于含有绝对值，运算不太方便，所以，考虑离差的平方和，即 （x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2， 当此和最小时，对应的 x 的值作为近似值.因为 （x－a1）2＋（x－a2）2＋…＋（x－an）2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x+a12+a22+…+an2， 所以当 x=时离差的平方和最小，故可用作为表示体重的理想近似值，称其为这 n 个数据 a1,a2,…,an 的平均数（average）或均值（mean），一般记为=. 这样，我们可以用计算器求得，该地区内 100 名年龄为 17.5～18 岁的男生的体重的最佳近似值为 x＝65.5（kg）. 这样我们就得到了样本平均数的求解方法： 样本数据的算术平均数，即=.Excel 中 函 数 “ AVERAGE （ ） ”...