高中数学 第2章 统计 2.3 总体特征数的估计 2.3.2 方差与标准差教材梳理导学案 苏教版必修3-苏教版高一必修3数学学案

2.3.2 方差与标准差庖丁巧解牛知识·巧学 一、样本方差与样本标准差1.极差（全距）是数据组的最大值与最小值的差.它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.2.方差是各数据与平均数的差 xi-（i=1，2，…，n）平方的平均数.它反映了一组数据围绕平均数波动的大小. 一般地，设样本数据分别是 x1，x2，x3，…，xn，样本的平均数为，则方差 s2=.3.标准差是各个样本数据到平均数的一种平均距离.一般用 s 表示.标准差 s=. 深化升华 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数的两边越分散.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两人的成绩时，标准差小就意味着成绩稳定；在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定.二、计算标准差的计算步骤（1）算出样本数据的平均数；（2）算出每个样本数据与样本平均数的差 xi-x（i=1，2，…，n）；（3）算出(xi-)2（i=1，2，…，n）；（4）算出(xi-x)2（i=1，2，…，n）这 n 个数的平均数，即为样本方差s2=；（5）算出方差的算术平方根，即为样本标准差 s=.说明：① 标准差的大小受样本中每个数据的影响，如数据之间变化大，求得的标准差也大，反之则小.标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，反之，标准差、方差越小，数据的离散程度越小.② 在计算标准差时，在各数据上加上或减去一个常数，其数值不变.③ 当每个数据乘以或除以一个常数 a，则所得的标准差是原来标准差的 a 倍或 1/a.④ 标准差的大小不会超过极差，其取值范围是［0，+∞），若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为 0.⑤ 若对数据处理时的计算量较大，要借助科学计算器或计算机，一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键，使用时要看说明书（不同的计算机，参数可能不同）进入统计状态就可以求值了. 因为方差与原始数据的单位不一致，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然标准差、方差都较好地反映了一组数据的离散程度，但在解决实际问题时标准差应用广泛. 联想发散 （1）若给定一组数据 x1，x2，…，xn，方差为 s2，则 ax1+b，ax2+b，…，axn+b 的方差为a2s2；特别地，当 a=1 时，则有 x1+b，x2+b，…，xn+b 的方差为 s2，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数...