2.2.2 椭圆的几何性质(二)学 习 目 标核 心 素 养1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．(重点、难点) 通过对直线与椭圆位置关系相关知识的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．点与椭圆的位置关系设 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下所示：(1)点 P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.(2)点 P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点 P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.2．直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若 Δ>0，则直线和椭圆相交；若 Δ＝0，则直线和椭圆相切；若 Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式设 直 线 l ： y ＝ kx ＋ m(k≠0 ， m 为 常 数 ) 与 椭 圆 ＋ ＝ 1(a>b>0) 相 交 ， 两 个 交 点 为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段 AB 叫做直线 l 截椭圆所得的弦，线段 AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将 y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m 代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中 x1＋x2与 x1x2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用 Δ>0.例如，直线 l：y＝k(x－2)＋1 和椭圆＋＝1.无论 k 取何值，直线 l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线 l 必与椭圆相交．思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去 y 后，推导出的弦长公式是什么？[提示] |AB|＝＝|y1－y2|.1．若点 A(a,1)在椭圆＋＝1 的内部，则 a 的取值范围是( )A．－＜a＜ B．a＜－或 a＞C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1[答案] A2．已知点(3,2)在椭圆＋＝1 上，则( )A．点(－3，－2)不在椭圆B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3,2)在椭圆上D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上1C [(－3,2)与(3,2)关于 y 轴对称，由椭圆的对称性可知，选 C.]3．经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．[答案] 点、直线与椭圆的位置关系【例 1】 (1)已知点 p(k,1)在椭圆＋＝1 外，则实数 k 的取值范围为________．(2)已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m.① 当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；② 当 m＝1 时，求直线与椭圆的相交弦...
