高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算互动课堂学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案

3.2 复数的四则运算互动课堂疏导引导1.两个复数相加(减)就是把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).实部与实部相加(减)作实部,虚部与虚部相加(减)作虚部,即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.两个复数的和(差)仍然是一个确定的复数.2.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中，把 i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成dicbia的形式，再把分子与分母都乘以复数(c-di)，并化简成idcadbcdcbdac2222的形式.两个复数乘、除的结果仍是复数.3.复数乘法满足的运算律 根据复数代数形式的运算法则，易得复数乘法运算满足以下运算律： 对于任意 z1、z2、z3∈C,有 z1·z2=z2·z1(交换律)，(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律)，z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(乘法对加法的分配律).4.有关共轭复数中常用的结论(1)实数的共轭复数是它本身；(2)纯虚数的共轭复数是其相反数. 以上两结论可表示为 z∈R z=z;z 是纯虚数 z=-z.(3)z∈C,|z|=|z|;z·z=|z|2=|z|2.5.两个常用结论(1)i 幂的周期性.i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.n∈N*.(2)“1”的立方虚根 ω=i2321 的性质.ω2=,1+ω+ω2=0.6.在进行复数运算时，熟记下列诸式的结果，有助于简化运算过程①(a+bi)(a-bi)=a2+b2;②(1±i)2=±2i;③ii11=i,ii11=-i;④i 的平方根是±（i2222 ）,-i 的平方根是±(i2222 ），1 的立方根是 1，i2321 ;-1 的立方根是-1，i2321 ；1⑤ 设 ω 为 1 的立方虚根，则有 ω3=1，1+ω+ω2=0，ω2=；⑥i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,(n∈N*)；⑦in+in+1+in+2+in+3=0,(n∈N*).活学巧用例 1 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+ …+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i).解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i.解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.例 2 已知 x、y∈R，且iiyix315211，求 x、y 的值.解：iiyix315211可写成10)31(55)21(2)1(iiyix，5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴15,4y5x5,2y5x5.y-1,x例 3 计算：iiii212)1()31(33.解：iiii212)1()31(33=5242)2()31(5)21)(2(]...