2．4.1 抛物线的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)1.通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养. 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养.1．抛物线的定义思考 1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？[提示] 不一定．当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) x＝－y 2 ＝－ 2 px ( p ＞ 0) x＝x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) y＝－x 2 ＝－ 2 py ( p ＞ 0) y＝思考 2：抛物线的标准方程 y2＝2px(p>0)中 p 的几何意义是什么？1[提示] 焦点到准线的距离．思考 3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．1．抛物线 y＝ax2的准线方程是 y＝2，则实数 a 的值为( )A. B．－ C．8 D．－8B [由 y＝ax2，得 x2＝y，＝－2，a＝－.]2．抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( )A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0)D [ y2＝4x，∴焦点 F(1,0)．]3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．y2＝－8x 或 x2＝－y [设抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)，或 x2＝2py(p≠0)．将 P(－2，－4)代入，分别得方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y.]求抛物线的标准方程【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为 2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上． [解] (1)准线方程为 2y＋4＝0，即 y＝－2，故抛物线焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)，又＝2，所以 2p＝8，故抛物线方程为 x2＝8y.(2) 点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即 2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为 y2＝x 或 x2＝－y.(3)令 x＝0 得 y＝－5；令 y...
