第 30 课时 两条直线的交点【学习目标】会求两条直线的交点，理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的方程组的解的情况的对应关系。【问题情境】问题：我们知道任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示。那么，两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成的方程组是否有解有何联系？讨论：（1）点 A（-2,2）是否在直线 l1：3x+4y-2=0 上？ 它是否在直线 l2：2x+y+2=0 上？A 的坐标（-2,2）是这两个方程的_______解.点 A 和直线 l1与 l2有什么关系？为什么？（2）如何求直线 l1：3x+4y-2=0；l2：2x+y+2=0 的交点坐标？一般地，设两条直线的方程分别是 l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A1x+B1y+C1=0. 两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。我们可以得到以下两条直线的位置关系与二元一次方程组的解数之间的关系表：方程组的解一组无数组无解直线 l1，l2的公共点个数直线 l1，l2的位置关系 【合作探究】已知直线 l1：x+y+1=0 和 l2：x2− y+4=0，那么方程 x+y+1+λ（x2− y+4） =0（λ 为任意实数）表示的直线有什么特点？【交流展示】例 1. 分别判断下列直线 l1与 l2是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）l1：2x−y=7， l2：3x+2y7=0−；（2）l1：2x6− y+4=0；l2：4x12−y+8=0；（3）l1：4x+2y+4=0；l2：y=2− x+3． 例 2. 直线 l 经过原点，且经过另两条直线 l1：2x+3y+8=0， l2：x−y1=0−的交点，求直线 l 的方程．例 3.某商品的市场需求量 y1（万件）、市场供应量 y2（万件）与市场价格 x（元/件）分别近似地满足下列关系：y1=−x+70，y2=2x20−．当 y1=y2时的市场价格称为市场平均价格，此时的需求量称为平衡需求量.（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加 4 万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？【学以致用】1.求经过点,且经过以下两条直线： ，的交点的直线方程; 2.若三条直线 x-y+5=0,2x-y+7=0,kx-y+2k+3=0 相交于同一点，求 k 的值;3.为何值时直线的交点在第一象限;4.求证：无论 m 为何实数时，直线(2m-1)x+(m-2)y=m-5 必过定点.参考答案：1. l1、l2 方程联立,得两直线交点为(-2, 2)设所求直线 y=kx+b将(-2,2)、(2,3)代入直线方程中得：k=-1,b=5∴直线 y=-x+52. .l1、l2 方程联立,得两直线交点为(-2,3)将(-2,3)代入直线方程中得：k 为任意实数3. 过定点（－3，－2）与坐标轴交点分别为（0，1），（4，0）K 的取值范围为（2/7，1）4.m 为任意实数时，所给直线必通过定点(9，-4). 将原方程按 m 的降幂排列，整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于 m 的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m 的一次项系数与常数项均等于零，故有解得∴m 为任意实数时，所给直线必通过定点(9，-4).
