高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末综合提升学案（含解析）新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学学案

第 3 章 数系的扩充与复数的引入[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]复数的概念【例 1】 (1)复数＋的虚部是( )A．i B．C．－iD．－(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A．1B．2C．1 或 2D．－1(1)B (2)B [＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为.(2)由纯虚数的定义，可得解得 a＝2.]处理复数概念问题的两个注意点1当复数不是 a＋bia，b∈R的形式时，要通过变形化为 a＋bi 的形式，以便确定其实部和虚部.2求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.[跟进训练]1．(1)若复数 z＝1＋i(i 为虚数单位)，是 z 的共轭复数，则 z2＋2的虚部为( )A．0B．－1C．1D．－2(2)已知 z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中 m 为实数，i 为虚数单位，若 z1－z2＝0，则 m 的值为( )A．4B．－1C．6D．－1 或 6(1)A (2)B [(1)因为 z＝1＋i，所以＝1－i，所以 z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选 A.(2)由题意可得 z1＝z2，即 m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得解得 m＝－1，故选 B.]复数的四则运算【例 2】 (1) 已知是 z 的共轭复数，若 z·i＋2＝2z，则 z＝( )A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)已知复数 z1＝2－3i，z2＝，则＝( )A．－4＋3iB．3＋4iC．3－4iD．4－3i(1)A (2)D [设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入 z·i＋2＝2z 中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，由复数相等的条件得，∴∴z＝1＋i，故选 A.(2)＝＝＝－＝4－3i.]1．本例题(1)中已知条件不变，则＝________.i [由例(1)解析知 z＝1＋i，所以＝1－i.＝＝i.]2．本例题(2)中已知条件不变，则 z1z2＝__________. －i [z1z2＝＝＝＝＝－i.]1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；2．复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成 a＋bi(a，b∈R)的结构形式. 3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化．复数的几何意义及其应用【例 3】 已知 z 是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数 a的取值范围．[解] 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则 z＋2i＝x＋(y＋2)i 为实数，∴y＝－2.又＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i 为实数，∴x＝4.∴z＝4－2i，又 (z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i 在第一象限，∴解得 2