2.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． (重点) 掌握抛物线的标准方程及其推导. (重点、易混点) 明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题. (重点、难点)1．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点 F叫作抛物线的焦点，定直线 l 叫作抛物线的准线．思考：在抛物线的定义中，如果去掉条件“l 不经过点 F”，点的轨迹还是抛物线吗？[提示] 不一定是抛物线．当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l的一条直线；当 l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2 ＝ 2 px ( p >0) x＝－y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x＝x 2 ＝ 2 py ( p >0) y＝－x 2 ＝－ 2 py ( p >0) y＝思考：抛物线的标准方程 y2＝2px(p>0)与二次函数 y＝ax2(a>0)有什么区别？[提示] y2＝2px(p>0)与 y＝ax2(a>0)对应的图形都是抛物线形，但开口方向和对称轴都不一样，y2＝2px(p>0)：焦点，对称轴为 x 轴；y＝ax2(a>0)，即 x2＝y，焦点，对称轴为 y 轴．1.判断正误(1)抛物线 y2＝20x 的焦点坐标是(0，5)( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( )[答案] (1)× (2)√ (3)×12．抛物线 y2＝－8x 的准线方程为( )A．x＝2 B．x＝－2C．y＝2 D．y＝－2A [由题意知，准线方程为 x＝2.]3．已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是( )A．x2＝－y B．x2＝yC．y2＝x D．y2＝－xA [由焦点是，得焦点在 y 轴负半轴－＝－，∴p＝，∴抛物线方程：x2＝－y.]4．抛物线 y2＝4x 上的点 P 到焦点的距离是 5，则 P 点坐标是________．(4，±4) [设 P 点的坐标为(x0，y0)，由题意得 x0＋1＝5，x0＝4，∴y＝16，y0＝±4，∴P 点坐标为(4，±4)．]求抛物线的标准方程【例 1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为(－2，0)；(2)准线为 y＝－1；(3)过点 A(2，3)；(4)焦点到准线的距离为.[解] (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为 y2＝－8x.(2) 焦点在 y 轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为 x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为 y2＝mx(...
