高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 2 2.2 抛物线的简单性质学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

2.2 抛物线的简单性质学习目标：1.了解抛物线的轴、顶点、离心率、通径的概念．(重点) 掌握抛物线上的点的坐标的取值范围、抛物线的对称性、顶点、离心率等简单性质．(重点) 会用顶点及通径的端点画抛物线的草图．(难点)抛物线的简单性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry ≥0 ， x ∈ R y≤0，x∈R对称轴x 轴 x 轴y 轴y 轴焦点FFFF准线方程x ＝－ x＝y ＝－ y＝顶点坐标O(0，0)离心率e ＝ 1 通径长2p思考：观察如图，抛物线标准方程 y2＝2px(p＞0)中，开口大小与 p 有怎样的关系？[提示] p 越大，抛物线开口越开阔．1.判断正误(1)抛物线 x2＝2py(p>0)有一条对称轴为 y 轴．( )(2)抛物线 y＝－x2的准线方程是 x＝.( )(3)抛物线关于(0，0)对称．( )[答案] (1)√ (2) × (3)×2．拋物线的对称轴为 x 轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为 8.若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x 或 y2＝－8x D．x2＝8y 或 x2＝－8yC [由题意知通径长 2p＝8，且焦点在 x 轴上，但开口向左或右不确定，故方程为 y2＝8x或 y2＝－8x.]3．已知过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝1________．2 [F(1，0)，由抛物线定义得 A 点横坐标为 1.∴AF⊥x 轴，∴|BF|＝|AF|＝2.]4．顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线方程是________．y2＝24x 或 y2＝－24x [ 顶点与焦点距离为 6，即＝6，∴2p＝24，又 对称轴为 x 轴，∴抛物线方程为 y2＝24x 或 y2＝－24x.]抛物线的几何性质【例 1】 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．[解] 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A，B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y＝2px1，y＝2px2.又|OA|＝|OB|，∴x＋y＝x＋y，即 x－x＋2px1－2px2＝0，∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. x1>0，x2>0，2p>0，∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段 AB 关于 x 轴对称．由于 AB 垂直于 x 轴，且∠AOx＝30°.∴＝tan 30°＝，而 y＝2px1，∴y1＝2p.于是|AB|＝2y1＝4p.1．注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对...