3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1.掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 会求双曲线的标准方程．(易混点)1．双曲线的定义我们把平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．思考：定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”？[提示] (1)双曲线的定义中若没有“绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“绝对值”不能去掉．在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，(2)若 2a<|F1F2|时，动点的轨迹是双曲线；若 2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是分别以 F1，F2为端点的两条射线；若 2a>|F1F2|时，轨迹不存在．2．双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0 ， － c ) ，F2(0 ， c ) 焦距|F1F2|＝2ca，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 1.判断正误(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程－＝1 中，a＞0，b＞0 且 a≠b.( )(3)双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 a＞b.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知两定点 F1(－3，0)，F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中，是双曲线的是 ( )A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0A [A 中， |F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点 P 的轨迹是双曲线；B 中， ||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点 P 的轨迹是以 F1或 F2为端点的射线(含端点)；C 中， ||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点 P 的轨迹不存在；D 中， ||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点 P 的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线，故选 A.]3．双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )A. B. C. D.C [将双曲线方程化为标准形式 x2－＝1，1所以 a2＝1，b2＝，∴c＝＝，∴右焦点坐标为.]4．已知双曲线的 a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．－＝1 或－＝1 [ a＝5，c＝7，∴b2＝24 所以该双曲线的标准方程为－＝1 或－＝1.]用待定系数法求双曲线的标准方程【例 1】 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过...
