高中数学 第3章 圆锥曲线与方程 3 3.2 双曲线的简单性质学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学学案

3.2 双曲线的简单性质学习目标：1.结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点) .感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点)双曲线的简单性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≥ a 或 y ≤ － a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1( － a ， 0 ) ，A2( a ， 0 ) A1(0 ， － a ) ，A2(0 ， a ) 实轴和虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴渐近线y ＝ ± x y ＝ ± x 标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)离心率e＝，e∈(1 ， ＋∞ ) a，b，c 的关系c2＝a 2 ＋ b 2 (c＞a＞0，c＞b＞0)思考：双曲线开口大小与离心率存在怎样的对应关系？[提示] 因为 e＝＝＝，故当的值越大，渐近线 y＝x 的斜率越大，双曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．1.判断正误(1)双曲线是轴对称图形．( )(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小． ( )(3)双曲线－＝1 的虚轴长为 4.( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．双曲线 2x2－y2＝－8 的实轴长是( )1A．2 B．4 C．2 D．4B [双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为 2a＝4.]3．双曲线－＝1 的渐近线方程是( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±xC [焦点在 x 轴上，a＝2，b＝3，渐近线方程为：y＝±x，即 y＝±x.]4．双曲线 x2－y2＝3 的离心率为________． [x2－y2＝3 可化为－＝1，∴a＝b＝，c2＝a2＋b2＝6，∴e＝＝＝.]已知双曲线的标准方程求其简单性质【例 1】 (1)若实数 k 满足 0＜k＜9，则曲线－＝1 与曲线－＝1 的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等(2)双曲线 4x2－y2＝4 的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．(1)A (2)(－1，0)，(1，0) y＝±2x [(1) 0＜k＜9，∴－＝1 的实轴长为 10，虚轴长为 2，焦距为 2，离心率.－＝1 的实轴长为 2，虚轴长为 6，焦距为 2，离心率.∴焦距相等．(2)将 4x2－y2＝4 变形为 x2－＝1，∴a＝1，b＝2，c＝，∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝＝，渐近线方程为 y＝±x＝±2x.]1．由双曲线的方程研究性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．(3)由 c2＝...