4.1 曲线与方程学习目标：1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．(重点) .掌握求曲线方程的一般方法，进一步体会曲线与方程的关系，感受解析几何的思想方法．(难点)1．方程与曲线的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．只有同时具备了上述两个性质，才能称为“方程的曲线”和“曲线的方程”．思考：曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的解，能否说 f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程？试举例说明．[提示] 不能．还要验证以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点是否都在曲线上．例如曲线 C为“以原点为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程 x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是 x2＋y2＝4.2．方程与曲线的关系3．求曲线的方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对 ( x ， y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{ M | p ( M )} ；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f ( x ， y ) ＝ 0 ；(4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．思考：求曲线的方程的某些步骤是否可以省略？[提示] 可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．1.判断正误(1)过点 P(x0，y0)斜率为 k 的直线的方程是＝k( )(2)若点 P(x0，y0)在曲线 C 上，则有 f(x0，y0)＝0( )(3)方程 y＝x 与 y＝表示同一条曲线( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．下列点中，在曲线 x＋＝0 上的是( )1A．(4，3) B．(3，－4)C．(－4，3) D．(5，0)C [经检验，只有(－4，3)满足方程 x＋＝0.]3．方程 x2＋xy＝x 表示的图形是( )A．一个点 B．一个点和一条直线C．一条直线 D．两条直线D [由 x2＋xy＝x 变形得 x(x＋y－1)＝0，∴x＝0 或 x＋y－1＝0，故选 D.]4．在平面直角坐标系内，到原点距离为 3 的点 M 的轨迹方程为________．x2＋y2＝9 [设 M(x，y)，则＝3，∴x2＋y2＝9.]曲线与方程的关系判...
