4.2 换底公式学 习 目 标核 心 素 养1.能推导出对数的换底公式．(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养．2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养.换底公式阅读教材 P83～P86有关内容，完成下列问题．换底公式：logbN ＝ (a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．特别地，logab·logba＝1，logba＝思考：换底公式的作用是什么？[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算．1.的值为( )A. B．2C. D．B [＝log39＝2log33＝2.]2．若 log32＝a，则 log123 可以用 a 表示为________． [log123＝＝＝]3．已知 log34·log48·log8m＝2，则 m＝________.9 [因为 log34·log48·log8m＝2，所以··＝2，化简得 lg m＝2lg 3＝lg 9.所以 m＝9.]4．log29·log34＝________.4 [log29·log34＝2log23·＝2log24＝4log22＝4.]利用换底公式化简求值【例 1】 计算：log1627log8132.[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．[解] log1627log8132＝·＝·＝·＝.1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如 an为底的换为 a 为底．2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.1．计算：(log43＋log83)(log32＋log92)．[解] 原式＝＝＝·＝.用已知对数表示其他对数【例 2】 已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645.[解] 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a，又 5＝18b，所以 log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为 log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.法二： 18b＝5，∴log185＝b，∴log3645＝＝＝＝＝＝.法三： log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，∴log3645＝＝＝＝.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；3 注意一些派生公式的使用.2．(1)已知 log142＝a，试用 a 表示 log7.(2)若 log23＝a，log52＝b，试用 a，b 表示 log245.[解] (1)法一：因为 log142＝a，所以 log214＝.所以 1＋log27＝.所以 log27＝－1.由对数换底公式，得 log27＝＝.所以 log7＝2log27＝2＝....
