高中数学 第7章 解析几何初步 7.1 点的坐标学案 湘教版必修3-湘教版高一必修3数学学案

7．1 点的坐标[学习目标]1．了解从任意一点出发的向量的坐标表示．2．理解两点间距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离．3．理解一点分有向线段所成的比，掌握定比分点坐标公式，并会应用．[预习导引]1．向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．2．两点间的距离公式两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离|AB|＝.3．中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x，y)是线段 AB 的中点，则 x＝，y＝．4．定比分点坐标公式已知两点的坐标 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点 P(x，y)分有向线段AB所成的比为 λ，则 x＝，y ＝ ．要点一 向量的坐标运算例 1 已知 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求 M，N 的坐标及MN＋AB.解 法一 由 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得CA＝(1，8)，CM＝3CA＝3(1，8)＝(3，24)，CB＝(6，3)，CN＝2CB＝2(6，3)＝(12，6)．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)，∴ 即又CN＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)，∴ 即∴N(9，2)．∴MN＝(9，－18)，又AB＝(5，－5)，∴MN＋AB＝(9，－18)＋(5，－5)＝(9，－18)＋(1，－1)＝(10，－19)．故 M(0，20)，N(9，2)，MN＋AB＝(10，－19)．法二 取点 O 为原点，由CM＝3CA，得OM－OC＝3OA－3OC，即OM＝3OA－2OC＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(－6，12)＋(6，8)＝(0，20)，∴M(0，20)．由CN＝2CB，得ON－OC＝2OB－2OC，即 ON＝2OB－OC＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(6，－2)＋(3，4)＝(9，2)，∴N(9，2)．又AB＝(5，－5)，MN＝(9，－18)，∴MN＋AB＝(10，－19)．规律方法 向量的坐标等于它的终点坐标减去起点的坐标，解答本题的关键是求 M，N 点的坐标，利用向量相等通过待定系数法求 M，N 点的坐标．跟踪演练 1 已知 A、B、C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE＝AC，BF＝BC，求向量EF.解 AC＝(2，2)，BC＝(－2，3)，∴AE＝AC＝(，)，BF＝BC＝(－，1)．设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，∴(x1，y1)－(－1，0)＝(，)，(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)，∴(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)，∴EF＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，0)－(－，)＝(，－)．要点二 两点间的距离公式及中点坐标公式的应用例 2 已知△ABC 的顶点坐标为 A(3，2)，B(1，0)，C(2，4)，求 AB 边上的中线的长．解 设 AB 中点 M(x，y)，已知 A(3，2)，B(1，0)，则由中点坐标公式，有∴AB 中点为...