第 3 章 指数函数和对数函数[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]指数与指数幂运算，对数与对数运算指数与指数幂的运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，它们既是学习和研究指数函数、对数函数的基础，也是高考必考内容之一，应给予足够的重视．【例 1】 已知 2a＝3b＝k(k≠1)，且 2a＋b＝ab，则实数 k 的值为( )A．6 B．9C．12D．18D [由 2a＝3b＝k(k≠1)，知 k>0，且 a＝log2k，b＝log3k，将它们代入 2a＋b＝ab，得2log2k＋log3k＝ log2k·log3k，即＋＝，所以 2logk3＋logk2＝1，logk9＋logk2＝1，logk18＝1，因此 k＝18.]【例 2】 设函数 f(x)＝则 f[f(2)]＝( )A．B．2e2C．2eD．2A [因为 f(2)＝log3＝log3＝log33－1＝－1，所以 f[f(2)]＝f(－1)＝2e－1－1＝2e－2＝.]指数函数和对数函数的图像和性质指数函数和对数函数是中学数学中两个重要的基本初等函数，它们的图像与性质始终是高考考查的重点，应熟练掌握图像的画法及形状，记熟性质．由于指数函数 y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图像与性质都与 a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在 a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．【例 3】 已知 f(x)是函数 y＝log2x 的反函数，则 y＝f(1－x)的图像是( )A B C DC [因为函数 y＝log2x 的反函数是 y＝2x，所以 f(x)＝2x.故 f(1－x)＝21－x，因为此函数在 R 上是减函数，且过点(0,2)．因此选 C.]【例 4】 已知奇函数 f(x)＝(x∈R)．(1)试确定 a 的值；(2)判断 f(x)的单调性，并证明；(3)若方程 f(x)＝m 在(－∞，0)上有解，试证－1<3f(m)<0.[思路探究] (1)根据奇函数的定义求 a 的值；(2)根据定义判断单调性；(3)根据方程的有关性质讨论范围．[解] (1)(定义法) f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，化简整理得 2(a－1)(2x＋1)＝0. 2x>0，∴a－1＝0，即 a＝1.(特殊值法) f(x)在 R 上是奇函数，∴f(0)＝0，即＝0.∴a＝1.(2)由 a＝1 可知，f(x)＝＝1－.任取 x1，x2∈R，且 x1
