7.2.3 同角三角函数的基本关系式学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．2.借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1.商数关系：＝tan_α.(2)语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切．思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如 sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1 等．1.已知 α∈，sin α＝，则 tan α＝( )A．－ B．2C．D．－2A [ α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－＝－，则 tan α＝＝－，故选 A．]2.已知 sin α＝，则 sin4α－cos4α 的值为( )A．－ B．－ C． D．B [ cos2α＝1－sin2α＝1－＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.]3.若 sin α＋3cos α＝0，则的值为________．－ [因为 sin α＋3cos α＝0，所以 tan α＝－3，因此原式＝＝＝－.]已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例 1】(1)若 sin α＝－，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值；(2)若 cos α＝，求 tan α 的值；(3)若 tan α＝－，求 sin α 的值．[思路探究] 对(1)中明确 α 是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角 α 所在象限的情况，需按 α 所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．[解](1) sin α＝－，α 是第三象限角，∴cos α＝－＝－，tan α＝＝－×＝.(2) cos α＝>0，∴α 是第一、四象限角．当 α 是第一象限角时，sin α＝＝＝，∴tan α＝＝；当 α 是第四象限角时，sin α＝－＝－＝－，∴tan α＝－.(3) tan α＝－<0，∴α 是第二、四象限角．由可得 sin2α＝.当 α 是第二象限角时，sin α＝；当 α 是第四象限角时，sin α＝－.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角 α 所...
