7．3.1 圆的标准方程[学习目标]1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．[知识链接]1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．3．平面上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|＝．[预习导引]1．圆的定义圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．2．定理 4：圆心为点(a，b)、半径为 r 的圆的方程为( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，称之为圆的标准方程．3．圆心在原点(0，0)，半径为 r 的圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ．4．点与圆的位置关系设点 P 到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d 与 r 的关系d > r d ＝ r d < r 要点一 点与圆的位置关系例 1 已知点 A(1，2)不在圆 C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数 a 的取值范围．解 由题意，点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥－，又 a≠0，∴a 的取值范围是∪(0，＋∞)．规律方法 判断点 P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：① 当(x0－a)2＋(y0－b)2r2时，点在圆外．跟踪演练 1 点 P(m2，5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定答案 A解析 把点 P(m2，5)代入圆的方程 x2＋y2＝24 得 m4＋25>24，故点 P 在圆外．要点二 求圆的标准方程例 2 求过点 A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程．解 法一 设点 C 为圆心， 点 C 在直线 x＋y－2＝0 上，∴可设点 C 的坐标为(a，2－a)．又 该圆经过 A，B 两点，∴|CA|＝|CB|.∴＝，解得 a＝1.∴圆心坐标为 C(1，1)，半径长 r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二 由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1，所以 AB 的垂直...
