高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 4 第1课时 比较法学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案

第 1 课时 比较法学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法．知识点一 求差比较法思考 求差比较法的理论依据是什么？答案 a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.梳理 求差比较法(1)求差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a ＜ b ；a－b＝0⇔a＝b.(2)求差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论．其中变形是解题的关键，变形的目的是为了能够直接判定与 0 的大小 ，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．知识点二 求商比较法思考 1 对于两个正数 a，b，若＞1，能够判断 a，b 的大小吗？答案 能，根据不等式的性质知，＞1⇒a＞b.思考 2 类比求差比较法，请谈谈求商比较法．答案 对于正数 a，b，＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.梳理 (1)求商比较法：若 a＞0，b＞0，要证明 a＞b，只要证明＞1；要证明 b＞a，只要证明＜1.这种证明不等式的方法，叫作求商比较法．(2)求商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b＞0，若＞1，则 a＞b；若＜1，则 a＜b；②b＜0，若＞1，则 a＜b；若＜1，则 a＞b.(3)求商比较法解题的一般步骤：①判定 a，b 符号；②求商；③变形整理；④判定与 1 的大小；⑤得出结论．类型一 求差比较法证明不等式例 1 已知正数 a，b，c 成等比数列，求证：a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.证明 因为正数 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac，b＝，又(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)＝2b(－)2≥0，所以 a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.反思与感悟 求差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与 0 比较大小．跟踪训练 1 已知 a≥1，求证：－＜－.证明 (－)－(－)＝－＝＜0，∴－＜－.类型二 求商比较法证明不等式例 2 已知 a＞0，b＞0，求证：aabb≥证明 因为 aabb＞0，＞0，所以当 a＝b 时，显然有＝1；当 a＞b＞0 时，＞1，＞0，所以由指数函数的单调性可知，＞1；当 b＞a＞0 时，0＜＜1，＜0，所以由指数函数的单调性可知，＞1. 2 .a bab 2a bab2222.a ba bb aaba ba baabbab2a bab2a bab2a bab综上可知，对任意正数 a，b...