第一课时 比较法、分析法与综合法[对应学生用书 P16]1．比较法比较法证明不等式可分为求差比较法和求商比较法两种：(1)要证明 a>b，只要证明 a － b >0 ；要证明 ab>0，只要证明>1；要证明 b>a>0 只要证明<1，这种证明不等式的方法，称为求商比较法．其证明不等式的步骤是：①作商；②变形；③判断与 1 的大小 ；④下结论．2．分析法从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．3．综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因索果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．1．求差比较法主要适用什么结构特征的不等式证明？其实质是什么？提示：主要适用于具有多项式、分式结构特征的不等式证明；实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 0 的大小关系．2．求商比较法主要适用什么结构特征的不等式证明？其实质是什么？提示：主要适用于积、商、幂形式的不等式证明；实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与 1 的大小关系．3．试分析分析法与综合法证明不等式的逻辑关系各是什么？提示：(1)分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)；(2)综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)逐步推演不等式成立的必要条件(结论)．[对应学生用书 P16]用比较法证明不等式[例 1] 用比较法证明下列不等式：(1)设 a＋b>0，n 为偶数，求证：＋≥＋.(2)已知 a>b>c>0.求证：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.[思路点拨] 本题考查不等式的性质及比较法在证明不等式中的应用，同时考查推理论证及运算求解能力．解答此题(1)用求差比较法，(2)用求商比较法证明．[精解详析] (1)＋－－＝.当 a>0，b>0 时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0，(ab)n>0.所以≥0.故＋≥＋.当 a，b 有一个为负值时，不妨设 a>0，b<0，且 a＋b>0，所以 a>|b|，又 n 为偶数．所以(an－bn)(an－1－bn－1)>0.又(ab)n>0，故>0.即＋>＋.综上所述，可知原不等式成立．(2)由 a>b>c>0，得 ab＋cbc＋aca＋b>0.作商＝＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b＝a－ba－cb－c.由 a>b>c>0，得 a－b>0，a－c>0，b－c>0，且>1，>1，>1.∴a－ba－cb－c>1...
