高中数学 第一章 不等关系与基本不等式章末复习学案 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学学案VIP专享

第一章 不等关系与基本不等式章末复习学习目标 1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的 4 个基本性质及 5 个推论．3．绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：① 根据绝对值的定义；② 分区间讨论(零点分段法)；③ 图像法．(2)绝对值三角不等式①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离；②|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0 时等号成立)；③|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0 时等号成立)；④||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是 ab≤0，右边“＝”成立的条件是 ab≥0)；⑤||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是 ab≥0，右边“＝”成立的条件是 ab≤0)．4．平均值不等式(1)定理 1：若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)．(2)定理 2：若 a，b∈R＋，则≥(当且仅当 a＝b 时取“＝”)．(3)定理 3：若 a，b，c∈R＋，则 a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”)．(4)定理 4：若 a，b，c∈R＋，则≥(当且仅当 a＝b＝c 时取“＝”)．(5)推论：若 a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当 a1＝a2＝…＝an时取“＝”．5．不等式的证明方法(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．类型一 绝对值不等式的解法例 1 解下列关于 x 的不等式．(1)|x＋1|＞|x－3|；(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.解 (1)方法一 |x＋1|＞|x－3|，两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.∴原不等式的解集为{x|x＞1}．方法二 分段讨论：当 x≤－1 时，有－x－1＞－x＋3，此时 x∈∅；当－1＜x≤3 时，有 x＋1＞－x＋3，即 x＞1，∴此时 1＜x≤3；当 x＞3 时，有 x＋1＞x－3，∴x＞3.∴原不等式解集为{x|x＞1}．(2)分段讨论：①当 x＜－时，原不等式变形为 2－x＋2x＋5＞2x，解得 x＜7，∴不等式解集为...