高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案VIP专享

1．4 绝对值的三角不等式[读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理 1：若 a，b 为实数，则|a＋b|≤| a | ＋ | b | .当且仅当 ab ≥0 时，等号成立．(2)定理 2：设 a，b，c 为实数，则|a－c|≤| a － b | ＋ | b － c | ，等号成立⇔( a － b )( b － c )≥0 ，即 b 落在 a ， c 之间． ① 推论 1：||a|－|b||≤| a ＋ b | ② 推论 2：||a|－|b||≤| a － b | [小问题·大思维]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≥0，左侧“＝”成立的条件是 ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≤0，左侧“＝”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|.3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c 所对应的点分别为 A，B，C，当点 B 在点 A，C 之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点 B 不在点 A，C 之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.绝对值的三角不等式的应用[例 1] (1)以下四个命题：① 若 a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；② 若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③ 若|x|＜2，|y|＞3，则||＜；④ 若 AB≠0，则 lg≥( lg|A|＋lg|B|)．其中正确的命题有( )A．4 个 B．3 个C．2 个 D．1 个(2)不等式≥1 成立的充要条件是________．[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a|＞|b|与|a|<|b|两类讨论．[精解详析] (1)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|1＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；|y|＞3，∴＜.又 |x|＜2，∴＜.③ 正确；2＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)，≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg≥lg|A||B|.∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．(2)当|a|>|b|时，有|a|－|b|>0，∴|a＋b|≥||a|－|b||＝|a|－|b|.∴必有≥1.即|a|>|b|是≥1 成立的充分条件．当≥1 时，由|a＋b|>0，必有|a|－|b|>0.即|a|>|b|，故|a|>|b|是≥1 成立的必要条件．故所求为：|a|>|b|.[答案] (1)A (2)|a|＞...