第 8 课时 不等式性质应用趣题―“两边夹不等式”的推广及趣例教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用教学过程： 一、情境引入大家都熟知等比定理：若，则。若将条件中的等式改为不等式，如，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知都是正数，且，则(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式为两边夹不等式。 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的．二、“两边夹不等式”理解推广1、两边夹不等式的两种理解解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶液 A 的浓度为，溶液 B 的浓度，现将两种溶液混合成溶液 C，此时溶液浓度为，由日常生活经验知道有。（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设，则直线 OA、OB 斜率分别是，(如图 1)，则， 它 表 示 图 中 的,显然直线 OC 的斜率介于 OA、OB 的斜率之间，即。进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如得到不等式，仿此还可到几个不等式链：（1）（2）（3）（其中）12．两边夹不等式的一个简单应用练习 1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知都是正数，且，求证：。分析：，，由两边夹不等式立即得．3．两个有意义的推广推论 1(等比定理的推广)：已知，若，则。利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将与的分子分母各乘以非零实数，又有什么结论呢?推 论 2( 一 般 性 推 广 ) ： 若 正 数及 非 零 实 数，满 足， 则证明：，由两边夹不等式立即得练习 2、无限夹数游戏 (1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?如与，与，与等。依据两边夹不等式可以得到介于与之间，介于与之间，介于与之间。三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。四、作业：探求“黄金分割数”2 在 0、l 之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为，此时得到两个区间 A1=（0， ），B1=()在区间 B1 内利用两边夹不等式得到第二个数 a2=；此时 a2 又将区间 B1 分成两个区间 A2=(),B2=()在区间A2 中利用两边夹不等式得到第三个数 a=，依此类推，可以得到数列{}，数列{}的极限称为黄金分割数，求此极限。()3
